Draft:15651

E1:15651 - Determinați soluțiile raționale ale ecuației x^2000 - x^2 - 3x = 0

Enunț: Determinați soluțiile raționale ale ecuației: x^{2000} - x^2 - 3x = 0

Soluție: Ecuația dată este de forma:

x^{2000} - x^2 - 3x = 0

Putem observa că ecuația poate fi rescrisă astfel:

x(x^{1999} - x - 3) = 0

Această ecuație are deja o soluție evidentă, și anume x = 0.

Pasul 1: Găsirea celorlalte soluții posibile

Să analizăm ecuația x^{1999} - x - 3 = 0. Vom demonstra că această ecuație nu are soluții raționale, folosind teorema lui Ruffini și teorema lui Cauchy.

Presupunem că x = p/q este o soluție rațională, cu p și q numere întregi, prime între ele. Conform teoremei lui Ruffini, p trebuie să fie un divizor al termenului liber, iar q trebuie să fie un divizor al coeficientului celui mai înalt termen.

Ecuația este:

x^{1999} - x - 3 = 0

- Termenul liber este -3, iar coeficientul termenului de grad maxim este 1.

Prin urmare, p trebuie să fie un divizor al lui -3, adică:

p ∈ {±1, ±3}

și q trebuie să fie un divizor al lui 1, adică:

q ∈ {±1}

Astfel, soluțiile raționale posibile sunt:

x ∈ {1, -1, 3, -3}

Pasul 2: Verificarea soluțiilor posibile

Să verificăm fiecare dintre aceste valori în ecuația x^{1999} - x - 3 = 0.

- Pentru x = 1:

 1^{1999} - 1 - 3 = 1 - 1 - 3 = -3 ≠ 0  
 Deci, x = 1 nu este soluție.  

- Pentru x = -1:

 (-1)^{1999} - (-1) - 3 = -1 + 1 - 3 = -3 ≠ 0  
 Deci, x = -1 nu este soluție.  

- Pentru x = 3:

 3^{1999} - 3 - 3 ≠ 0  
 Deci, x = 3 nu este soluție.  

- Pentru x = -3:

 (-3)^{1999} + 3 - 3 ≠ 0  
 Deci, x = -3 nu este soluție.  

Concluzie:

Nicio valoare rațională nu satisface ecuația x^{1999} - x - 3 = 0.

Soluția finală:

Singura soluție rațională a ecuației date este x = 0.

Răspuns final: Singura soluție rațională a ecuației x^{2000} - x^2 - 3x = 0 este x = 0.